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      1. 田剛院士“數學有趣”實錄

        發布時間:2022-12-08


        背景

        中國數學會第十一屆全國數學文化論壇于2022年7月29日-8月1日在河南大學順利召開。中國數學會理事長田剛院士作大會報告《數學有趣》,以下是報告實錄。


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        數學有趣

        今天的報告,在數學文化專家面前作可能有些班門弄斧,但報告中有些內容還是很新穎的,當然也有些內容,在座的更是專家。

        在大多數人心中,數學是冰冷枯燥的,認為數學是大量的數字、復雜的公式、晦澀的推理。但實際上數學不僅是科學的基礎,也在繪畫、建筑等富有趣味的領域中隨處可見。相比于普通人,數學家更能通過數學的抽象和簡潔來欣賞它的奇妙之處。那么,作為數學家或者數學工作者來看,數學文化表現在哪些方面?應該如何欣賞呢?

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        數學的抽象美

        數學和其他學科相比最大的區別在于它具有抽象性,而數學工作者對于它的抽象性還是非常欣賞的。實際上很多人覺得數學難的原因就是它太抽象,1、2、3、4、5它并不代表具體的事物,一定程度可能是人類創造出來的一個概念,但它有普適性,也有自己的規律。數字從具體物品中抽離出來,產生了數的概念,這是人類一個最偉大的發明。早期,計數和物品有關系;后來,我們純粹研究數,它是一個抽象的東西,這也是我們跟一般動物的區別。我們也經常在視頻中看到,動物也能識別幾顆糖,但至少現在沒有證據證明它們有數的抽象概念。

        幾何原本

        數論是數學的核心分支之一,研究素數是一個重要部分。素數是指只能被1和它本身整除的自然數,如2,3,5,7,11。許多著名猜想都與素數有關,如:被譽為“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想:任一個大于2的偶數都可寫成兩個素數之和。至今最好的結果是1966年陳景潤先生證明的。我們很早就知道:有無窮多個素數,第一個證明出現在《幾何原本》中,也可從歐拉公式推出。

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        公元前300年左右,歐幾里得完成了《幾何原本》一書,全書分15卷,前6卷為平面幾何,卷7至卷10為數論,之后為立體幾何。全書有5條“公理”或“公設”、23個定義和467個命題。歐幾里得由公理、公設和定義出發,嚴格推導出命題。特別值得一提的是,北大圖書館原館長毛準上世紀30年代個人收藏后留在北大圖書館的《幾何原本》是16世紀版本,在國內可能是收藏最早的《幾何原本》。

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        公元1607年,徐光啟和利瑪竇共同翻譯了《幾何原本》的前6卷,這個中文譯本是阿拉伯世界以外的第一個東方譯本,比西方許多國家的初譯本都早至少100年,例如,俄羅斯、瑞典、丹麥、波蘭等文字譯本的出現分別晚至1739、1744、1745和1817年。徐光啟是首先把“幾何”一詞作為數學的專業名詞來使用的,并斷言:“竊意百年之后必人人習之”, “能精此書者,無一事不可精;好學此書者,無一事不可學?!币虼藥装倌昵吧踔粮?,我們的先輩就認識到現代數學的重要性。

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        在2000年前,《幾何原本》就證明了素數有無窮多個,這是非常了不起的,因為素數有無窮多個在當時不是很有用的知識,它是在非常思辨、邏輯性非常強的狀態下證明的。

        素數定理

        “素數定理”是很抽象的,我們期望了解素數的分布,前100個數有25個素數,前1000個數有100多個素數等。實際上素數是有規律的,這對數學家來說是非常奇妙的。本來1萬、100萬個素數都很難發現它的規律,即使用計算機處理,也很難看出它的抽象性,但我們卻發現了它的規律,在數學中有很多這樣的例子。第一個有關素數的抽象結果就是素數定理:設x≥1,用π(x)表示不超過x的素數的個數,那么當x趨于無窮時,π(x)接近于x/ln(x)。如果x是1億,素數有500多萬;如果x是100億,素數有4億多。 1896年,阿達馬和瓦萊布桑各自獨立地證明了素數定理。1949年,塞爾伯格和埃爾德什分別獨立地給出了素數定理的完全“初等”的證明。從數學家的角度看,這個定理非常的漂亮,雖然我不研究數論,但這個定理我自己看也是非常漂亮的。

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        黎曼猜想

        第二個抽象起來的就是黎曼猜想,對于黎曼猜想大家都了解很多,黎曼猜想是黎曼提出的聞名于世的重要數學問題,是一個與素數規律密切相關的猜想,實際上它可以用來問這個素數定理是不是更精確。黎曼是偉大的數學家,它不僅是在數論方向、還在幾何方向也有重大的原創性突破,如我們現在研究的黎曼幾何等。對于復變量 s = σ + it,黎曼定義函數ζ(s)如下(1),對于學過基礎數學的老師們都清楚,對于(1)這個級數,當Re(s)>1時是收斂的,當s=1時,是調和級數,就不收斂了。

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        黎曼通過一些方式表達了數學的奇妙性,或者稱為解析延拓性。即同樣的問題,從不同角度去觀察時,得到的回饋是不一樣的,實際生活中如此,數學也是如此,從解析延拓性方面來說可以作抽象的反應,所以換一個角度去考慮后可以得到不同的結論。如果把黎曼zeta函數表示成如下形式:

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        我們會發現只要s的實部大于0時,這個函數就是收斂的。黎曼zeta函數滿足以下函數方程:

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        所以將剛才的冪級數換個積分形式表示以后,我們會發現這個函數在更大的范圍內是可以定義的。總之,黎曼發現這個函數可以在除了在s=1之外的整個平面上定義且解析, 而s=1是一個一階極點。這個函數它還有很多性質,比如在s=-1,它是收斂的ζ(s) = -1/12。巧妙的是,在(1)中,當s=-1,可得1+2+3+4+5+……,是不收斂的,而我們換了一個角度研究(2)、(3),發現它又是收斂的,從而體現了數學的神奇性。從數學家角度考慮也是非常有意思的,或許是數學家在自娛自樂,但這也體現了數學與人生一樣都有很大的樂趣性,也是我們傳播數學文化的目的。

        現在發現這類函數確實是有用的,在物理中,特別是超弦理論中,被稱為“real normalization”,它是規范化的,也是有意義的,在物理學的磁論和場論中都有涉及。數學家自娛自樂的知識發現也是有用的,所以人類的思維有它的獨特性和美妙性,有它一定運行的道理。

        素數有無窮多個,黎曼發現這些點竟然是有規律的:素數的頻率緊密相關于黎曼zeta函數ζ(s)的性態。黎曼假設斷言,方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上s = 1/2 + it 。其他平凡零點是 -2n。簡單來說,所有這些平凡和非平凡零點一定會排列成兩條直線,絕對不會有例外,這就是黎曼猜想。人們通過計算機去驗證黎曼猜想,挨個點去試,至今驗證過15萬億個點,都是對的。

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        上面講了數學的抽象性,數學家包括古代的先賢,為什么去研究素數,可能是去探索一些抽象數的內在規律性。我們后來卻發現這些規律性是有用的,如在電子商務中被廣泛使用的密碼學中經典的RSA算法其基本原理依賴于素數理論。RSA算法的安全性是因為素數分解的困難,所以素數是現代信息安全技術的基礎。密碼學廣泛應用在我們日常生活中,包括自動柜員機的芯片卡、電腦使用者存取密碼、電子商務等等,它使用了大量的數學工具。


        數學的簡潔美

        數學的簡潔美即從復雜的現象中總結出非常簡潔的規律。愛因斯坦說過:“美在本質上終究是簡單性?!睔W拉公式:V-E+F=2 (V:頂點,E:邊,F:面) ,雖然無法說清楚有多少凸多面體,但它們總是滿足這一公式。我們可以用歐拉公式來證明只有五種正多面體:用正三角形做面的正四面體、正八面體、正二十面體、用正方形做面的正六面體、用正五邊形做面的正十二面體,這一結果的證明最早出現在歐幾里得的幾何原本中。

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        柏拉圖立體

        據說只存在5種正多面體是古希臘數學家泰阿泰德發現的,但它們被稱為“柏拉圖立體”??梢姳皇谟韫猸h的也不一定是原本的發現者。柏拉圖的宇宙觀基本上是一種數學的宇宙觀。他設想宇宙開頭有兩種直角三角形,一種是正方形的一半,另一種是等邊三角形的一半。從這些三角形就合理地產生出四種正多面體,組成四種元素?;鹗钦拿骟w,氣是正八面體,水是正二十面體,土是立方體。第五種正多面體是由正五邊形形成的十二面體,這是組成天上物質的第五種元素,叫做以太。

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        城市中很多球形建筑上都有12個特殊的點,比如位于北京的中國科技館,這些球形建筑上的12個特殊點,每個點由5個三角形組成,這是多面體幾何性質約束的結果。

        將正二十面體的每個側面切分為4個正三角形(如下圖(1)),側面被切割并被“吹鼓”的多面體,如此繼續切割并吹鼓,得到的多面體越來約接近球面(如下圖(2)),

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        還有足球也是由正二十面體出發截去頂點并稍加吹鼓起來的(如下圖(6))。

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        拓撲學中的歐拉示性數

        凸多面體的歐拉公式可以推廣到任意拓撲空間上。首先我們可以引進一個拓撲不變量,稱為歐拉數(Euler characteristic)。如果二維拓撲空間K等價于一個多面體,那我們定義它的歐拉數為 F - E + V,其中V、E和F分別是多面體的頂點、邊和面的個數??梢宰C明歐拉示性數與多面體的選取無關。還可以證明任何一個曲面,如下圖(1)的球面,等價于某個多面體,因此可定義歐拉數。由于拓撲不變性,凸多面體的歐拉示性數與球面的歐拉示性數是相等的。也就是說,球面的歐拉示性數V – E + F為2 。而曲面的歐拉數可以不一樣,如果曲面上洞眼的個數為g,則其歐拉數為 2–2 g。通常,g在拓撲學中稱為“虧格”,即為環柄的個數或者洞的個數。

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        歐拉公式是拓撲學中的一個結果,拓撲學是研究幾何體在連續形變下不變性質的數學分支。在2維情形,歐拉數可用來做拓撲分類,即一個曲面可連續形變到另一個曲面當且僅當它們有相同的歐拉數。

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        龐加萊猜想(1904)是一個著名的拓撲問題,它給出了3維球面的拓撲刻畫。在一個世紀的漫長時光中一直困擾著全世界的數學家們,最終被Perelman用幾何中的曲率流方法解決。

        復形

        歐拉數可推廣到高維“多面體”K,也稱復形, 即QQ截圖20221208115639.png 這里Fk表示 k-維面的個數。如果空間K有復形結構,則我們可以定義歐拉數QQ截圖20221208115712.png。我們已知任何光滑流形都有復形結構,故可以有歐拉數。

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        如何在更一般的空間上定義歐拉數?比如對有奇異的空間,即使空間是光滑的流形,證明其有復形結構也是相當復雜的。因此我們需要一個更拓撲、適用更廣的方法。奇異同調群給出了這樣一個方法:任何拓撲空間M都能定義奇異同調群,它是由單形到M的連續映射生成的。在一定的緊性條件下,k-維奇異同調群是維數為hk的向量空間,且只有有限個h非零。我們可定義歐拉數:QQ截圖20221208115729.png, 所以在幾乎所有的空間上都可以定義歐拉數。

        由此可知人類的認識是不斷進步的,數學家不斷地在發現歐拉數背后的規律,這也是一種數學文化。所以說數學家要不斷地多問一些為什么以及探索背后的原因,或者有沒有更好或者更廣的方式來解釋已有的某些現象,并在此基礎上再做進一步研究。

        歐拉數現在仍有發展。計數幾何是代數幾何的一個重要分支,研究幾何方程的解的個數,有著悠久的歷史。受物理中場論研究的啟發, 90年代以來,計數幾何發生了翻天覆地的變化,其發展關鍵在于在一類無窮維空間上定義歐拉數。

        現在提到的元宇宙,實際上就是一個虛擬的東西,希望用虛擬的東西來表現現實世界。而這些其實我們數學家早就在考慮的東西,包括歐拉數,起初是在多面體,很具體且很緊迫化,后來發現歐拉數實際不需要那么具體。

        GW理論對應理論物理中的拓撲場論,它的數學理論是我和阮勇斌最先在半單辛空間上建立的。之后由我和李駿、Fukaya-Ono等利用虛擬??臻g的方法推廣到一般辛空間。GW理論不僅推進了計數幾何的高度發展,而且與數學很多分支(如無窮維代數表示和可積系統)緊密相關,也為鏡對稱等重要問題提供了數學基礎。

        元宇宙(Metaverse)是利用科技手段進行鏈接與創造的,與現實世界映射與交互的虛擬世界,具備新型社會體系的數字生活空間。在半單情形,我和阮勇斌用非齊次Cauchy-Riemann方程來構造相應歐拉數的。在一般情形,我和李駿引進了虛擬??臻g方法來構造這一歐拉數。最近,徐光博和我利用我和李駿的方法建立了Gauged Linear \sigma-model的數學理論。


        數學的對稱美

        中國的建筑就很好地應用了數學的對稱美,有許多的園林建筑都應用了這一點。

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        密鋪

        用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進行拼接,彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的密鋪。這在我們生活中常見,尤其是建筑、裝修等。

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        任何三角形和凸四邊形(包括正方形,矩形)都可以密鋪整個平面。但除正三角形、正四邊形和正六邊形外,其他正多邊形都不可以密鋪平面。正五邊形不能密鋪,那么會不會有其它圖形可以密鋪?

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        一些不規則的五邊形可以密鋪,把六邊形劃分為兩個或三個或四個全等的五邊形(如下圖)。

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        五邊形密鋪的探索之路

        對于不規則五邊形密鋪方式,引發了數學家們的興趣,在這個領域取得的進展都來自從事數學研究的數學家。但僅有高中學歷的家庭主婦瑪喬麗則顛覆了歷史,她連續發現了4類不規則五邊形密鋪方式!之后的第14、15類密鋪也都是科研工作者?,攩帖惪芍^前無古人后無來者!

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        瑪喬麗?萊斯是美國一位普通的家庭主婦,高中學歷,有5個孩子。因為給小兒子訂閱科普雜志便喜歡上閱讀雜志里的數學科普文章。1975年,瑪喬麗讀到關于平面密鋪的文章,對此極為感興趣,便開始了她一往無前的研究之旅。1976年,經過兩個月的思考和探索,瑪喬麗發現了一類新的能密鋪滿平面的五邊形,并用自創的一套符號來標記。令人驚訝的是,她的研究結果是正確的!最初幫助驗證瑪喬麗密鋪工作結果的是數學教授多麗絲?沙特施耐德,并在1995年受邀美國數學會的會議上介紹瑪喬麗的工作,而且美國數學會(AMS)總部裝修時,新地板采用了瑪喬麗發現的五邊形密鋪。

        非周期性密鋪

        對于單一正多邊形的密鋪,只能采用正三角形、正方形、正六邊形這三種。但是如果采用多種不同的多邊形進行密鋪,那么就有新的可能。這一問題是華裔數學家王浩在1961年提出的。1976年,由英國數學家彭羅斯構造出了最為經典的采用兩種不同的菱形(36°/144°,72°/108°)的密鋪圖案。

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        羅杰?彭羅斯是2020年諾貝爾物理學獎獲得者之一,獲獎原因是在黑洞研究方面做出了杰出貢獻。彭羅斯在趣味數學中也有為大家所熟知的工作發現——彭羅斯密鋪(Penrose Tiling)。用兩種不同形狀但具有同樣邊長的菱形造出無數個非周期性密鋪。

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        上世紀80年代初,以色列化學家丹·謝赫特曼發現了一種新的固體材料,這種物質被命名為“準晶”,它的電子衍射圖樣跟彭羅斯密鋪相似。謝赫特曼當時并不知道彭羅斯密鋪,后來他才弄清了其中的數學理論。2011年,謝赫特曼因為此項工作獲得當年的諾貝爾化學獎。

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        1248年穆罕默德一世國王阿卜?阿拉罕爾開始將羅馬人的舊城堡擴建成規模宏大的宮殿群,然后由后世繼承者繼續修建至竣工。紅宮又名阿爾汗布拉宮,是現存最美麗的伊斯蘭建筑之一。阿拉伯人在建筑上常借以密鋪的方式闡釋生命循環往復和無限性的意象。目前存在的17種類型幾何密鋪,在紅宮都可以找到。

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        Maryna Viazovska(烏克蘭數學家)是2022年菲爾茲獎(Fields Medals)的四名獲獎者之一,她獲獎的工作成果其實與我們日常生活中經常見到的事物有關。

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        “橙子堆疊問題” (開普勒猜想): 假設有個巨大的箱子以及數量眾多的橙子,我們如何排布球狀的橙子,才能讓橙子盡量多地裝到箱子里?(1)如果箱子很大,形狀的影響可以忽略不計,答案只取決于箱子的體積,球堆積問題就是找到這個最高比率,也稱為球堆積常數。(2)降低一個維度,從2維看最佳排布是蜂窩狀排布,任意平面上的每個橙子都與六個橙子相鄰,構成正六邊形。

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        1694年,牛頓與天文學家格雷戈里(David Gregory)討論體積不同的行星在天空中如何分布,隨后話題轉為:一個球能否與13個互不相交的球相切?牛頓認為不可能,而格雷戈里猜測可以,此問題也稱為十三球問題。這次討論記錄在格雷戈里的筆記本上并保存在牛津的一所教堂里。當時,歐洲人普遍信仰基督教,還有人把這次討論與耶穌的12位門徒聯系起來。

        3維空間里不止一個最佳堆積,有很多比率相等的最佳堆積,其中一種即是之前提及的橙子堆積法(開普勒猜想)。盡管這一猜想看起來簡單,已有400多年歷史。項武義,Thomas Hales著有長篇論文試圖給出證明。Hales的論文2005年發表在Annals上,但其證明借助計算機,驗證步驟龐大復雜。

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        不借助計算機,只用幾頁紙,Maryna Viazovska給出了在 8 維和 24 維高維空間的球體堆積證明。高維空間的球體堆積在現代通訊技術中發揮著重要作用,能確?;ヂ摼W、衛星等傳輸信息的過程中在遇到有干擾的情況下,也能理解傳輸過來的信息。

        今天的報告就講到這里,謝謝大家!



        (文中主要圖片來自于網絡,成稿也得到了一些數學界友人的意見建議,特此一并致謝?。?/span>




        數學會獎項

        華羅庚獎

        華羅庚先生是我國著名數學家

        華羅庚先生是我國著名數學家,他熱愛祖國,獻身科學事業,一生為發展我國的數學事業和培養人才做出了卓越貢獻。

        陳省身獎

        陳省身教授是一位國際數學大師

        國際數學大師陳省身教授是美籍華裔數學家、中國科學院外籍院士。他非常關心祖國數學事業的發展,幾十年來在發展我國數學事業、培養數學人才等方面做了大量工作。

        鐘家慶獎

        鐘家慶教授生前對祖國數學事業的發展極其關切

        鐘家慶教授生前對祖國數學事業的發展極其關注,并為之拚搏一生。為了紀念并實現他發展祖國數學事業的遺愿,數學界有關人士于1987年共同籌辦了鐘家慶基金,并設立了鐘家慶數學獎,委托中國數學會承辦。

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