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      1. 中國古代數學的貢獻|2 中國古代數學與國學

        發布時間:2024-01-15

        【編者按】“中國古代數學的貢獻”一文,作者系周向宇院士。在研究專業數學之余,作者將學習和研究中國古代數學的心得體會與研究成果整理成文,刊發于《數學學報,中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國古代數學對華夏文明的貢獻,對國學、語言、文化的影響,以及對現代數學的影響與貢獻?!皵祵W大院”公眾號將陸續以推文呈現,讓讀者從多方面領略中國古代數學的成就與貢獻。


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        圖片來源于網絡

        以下內容節選自“中國古代數學的貢獻”一文第二章,作者系周向宇院士。

        所謂國學,應該是以先秦諸子百家學說為根基的中國傳統思想、文化、學術體系。國學涉及范圍廣泛,包括哲學、文學、政治、經濟、軍事、歷史、地理、醫學、建筑、書畫、音樂等等,且涉及各個時代。

        事實上,中國文化對數學的嚴謹、嚴格、嚴密,準確、精確、客觀,非常地推崇?!痘茨献印ぶ餍g訓》說:孔丘、墨翟修先圣之術,通六藝之論。國學的奠基者們都精通六藝、通曉籌算,他們將各自的人文思想用數學命題來進行闡釋,反映了人文精神與數學精神的交融, 體現了中國文化從根基上對數學的尊崇。

        2.1 古代數學之用

        史書記載:伏羲女媧持規矩;大禹:左繩,右規矩,載四時;奚仲:造車之父,利用規矩、準繩造馬車。

        “勾三股四弦五”在大禹時期就已經知道了?!妒酚洝は谋炯o》記載大禹治水的情形:“左準繩, 右規矩,載四時,以開九州,通九道,陂九澤,度九山?!薄痘茨献印ば迍沼枴芬舱f:“無規矩,雖奚仲不能以定方圓;無準繩,雖魯班不能以定曲直?!鞭芍侔l明了輪子,是中國的造車之父。如果沒有了規矩,即便是奚仲也確定不了方圓;如果沒有了準繩,哪怕是魯班也確定不了直線。這說明,我國古代很早就使用準繩和規矩這些基本的數學工具,并做出重大應用。

        2.2 古代數學源遠流長

        周文王演周易;周武王建周朝,周公(儒學奠基人)制禮樂。數學教育屬六藝(禮、樂、射、御、書、數)之一,據史料記載,至晚始于西周。西周造車技術高超,車輛制造業發達,而造車相當依賴數學。劉徽在為《九章算術》作注時說:“按周公制禮而有九數,九數之流,則《九章》是矣”。甲骨文中,已有規、矩等字。這些都說明,我國古代數學源遠流長。

        2.3 周公與商高

        《周髀算經》記載周公向商高請教天文測量的有關知識:“夫天不可階而升,地不可得尺寸而度,請問數安從出?”商高告訴他,關鍵在于用“矩”。周公感嘆:“大哉言數!請問用矩之道?!鄙谈邉t進一步解釋,通過不同的擺放方式,矩可以實現多種不同的用途:“平矩以正繩,偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠,環矩以為圓,合矩以為方?!敝芄Q贊說:“善哉!”

        《管子·七法》里記載了很多管子與數學相關的內容。管仲所說的七法是指:“則、象、法、化、決塞、心術、計數”。其中,“計數”包括剛柔、輕重、大小、實虛、遠近、多少,這些問題都與數學相關。管仲認為,想要辦成大事,不可不通曉數學:“不明于計數,而欲舉大事,猶無舟楫而欲經于水險也。舉事必成,不知計數不可?!贝送?,管仲把尺寸、繩墨、規矩、衡石、斗斛、角量稱為“法”,這些也是數學。管仲說:“不明于法,而欲治民一眾,猶左書而右息之?!痹诠苤僦卫韲視r,數學起了重要作用。

        由上述可見,從伏羲女媧到大禹,從文、武王到周公、管子,從中國文化的根基上看,中國的統治者對數學是十分欣賞、重視的。

        2.4 孟子的人文思想與數學

        《孟子·離婁上》說:“離婁之明,公輸子之巧,不以規矩,不能成方圓;……堯舜之道,不以仁政,不能平治天下”。事實上,“不以規矩不能成方圓”是一個數學命題(現在已成為人們常用的格言警句),孟子以此闡述它的核心人文思想“仁”。目前人們常說“規規矩矩做人做事”,反映了數學的影響。

        中國文化看重“圓方”,向有“天圓地方”之說。方圓都是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形。中國古代發明了畫圓與方的規與矩。

        《孟子·離婁上》還說:“規矩,方圓之至也;圣人,人倫之至也?!边@里,孟子把數學命題和他的人文思想交融為一體,在他的著作中還能找到許多其他類似的比較、闡述。以下僅舉幾例:

        《孟子·離婁上》:圣人既竭目力焉,繼之以規矩準繩,以為方圓平直,不可勝用也;……既竭心思焉,繼之以不忍人之政,而仁覆天下矣。

        《孟子·梁惠王上》:權,然后知輕重;度,然后知長短。物皆然,心為甚。

        《孟子·告子上》:“羿之教之射,必志于彀,學者亦必志于彀;大匠誨人,必以規矩,學者亦必以規矩?!?/span>

        《孟子·盡心上》:公孫丑曰:“道則高矣美矣,宜若登天然,似不可及也。何不使彼為可幾及,而日孳孳也?!泵献釉唬骸按蠼巢粸樽竟じ膹U繩墨,羿不為拙射變其彀率,君子引而不發, 躍如也,中道而立,能者從之?!?/span>

        《孟子·盡心下》:“梓匠輪輿,能與人規矩,不能使人巧?!?/span>

        這些,都需要對數學有準確的認識,才能更好地理解其意。

        2.5 墨子的人文思想與數學

        墨子是一位百科式科學家?!赌印そ浬稀氛f:“圜,一中同長也?!眻A就是有一個中心到具距離等長的圖形。圓可以用規來實現,所謂“圜,規寫交也”(用規寫畫的終點與始點相交合的封閉軌跡)?!胺?,柱隅四權(讙)也”(方形即四邊四角相等的平面四邊形。柱:邊。隅:角。權:均衡、平衡、平均,這里意味著相等。另外《考工記》中:“九和之弓,角與干權”的“權”也是此意),“方,矩見交也”(用矩尺畫出相交的封閉圖形),方可以用矩來實現,這是墨子的公理化定義?!坝懈F”、“無窮”是墨家的常用術語。他給出了力的定義,認為力是使物體運動變化的原因;認識到了重力、杠桿原理;還做了世界上第一個小孔成像的實驗,證明光沿直線傳播。

        《墨子·法儀》還說:“百工為方以矩,為圓以規,直以繩,衡以水,正以縣。無巧工不巧工,皆以此五者為法?!睙o論是巧匠還是一般工匠,都要遵從相同的客觀準則,說明墨子已經認識到了數學的客觀性,以此強調法度的重要性。

        墨子的核心人文思想是“天志”(天的意志)?!赌印ぬ熘旧稀氛f:“我有天志,譬若輪人之有規, 匠人之有矩,輪匠執其規矩,以度天下之方圓。曰:中者是也,不中者非也?!蹦影岩砸幘囟ǚ綀A,比喻為判斷是非,顯然他對數學的精確和嚴謹是十分推崇的。后文《墨子·天志中》還說:“是故子墨子之有天之,辟人無以異乎輪人之有規、匠人之有矩也?!蹦影烟熘舅枷牒蛿祵W命題聯系對應起來?!爸形嵋幷咧^之圓,不中吾規者謂之不圓,……中吾矩者謂之方,不中吾矩者謂之不方?!迸袆e圓和方的規則都很明確,這些思想方法都來自數學。

        2.6 荀子的人文思想與數學

        荀子的一個核心人文思想就是“禮”?!盾髯印ね醢浴氛f:“禮之所以正國也,譬之,猶衡之于輕重也,猶繩墨之于曲直也,猶規矩之于方圓也,既錯之而人莫之能誣也?!边@充分反映了荀子對數學的推崇。

        《荀子·禮論》:“故繩墨誠陳矣,則不可欺以曲直;衡誠縣矣,則不可欺以輕重;規矩誠設矣, 則不可欺以方圓;君子審于禮,則不可欺以詐偽?!?/span>

        我們知道,有了繩墨就不可欺以曲直,有了衡(秤)就不可欺以輕重,有了規矩就不可欺以方圓,這些都是數學道理。荀子以此來說明“禮”的重要性。

        同樣地,《荀子·禮論》接著說:“君子審于禮,則不可欺以詐偽。故繩者,直之至;衡者, 平之至;規矩者,方圓之至;禮者,人道之極也?!避髯訌睦K、衡、規矩這些數學知識,引申到他的核心人文思想“禮”。只有對數學的“之至”理解透徹了,才能透徹理解其人文的“之極”。

        2.7 管子的人文思想與數學

        管仲治理國家時應用了數學,他的人文思想也是用數學語言來表征的?!豆茏印しǚā氛f:“規矩者,方圓之正也,雖有巧目利手,不如拙規矩之正方圓也……,故雖有明智高行,倍法而治,是廢規矩而正方圓也?!边@里,管仲用數學語言來闡釋背法而治的后果。

        《管子·形勢解》:“奚仲之為車器也,方圜曲直皆中規矩鉤繩,故機旋相得,用之牢利,成器堅固。明主,猶奚仲也,言辭動作,皆中術數,故眾理相當,上下相親。巧者,奚仲之所以為器也,主之所以為治也?!?/span>

        “以規矩為方圜則成,以尺寸量長短則得,以法數治民則安?!?/span>

        《管子·七臣七主》:“法律政令者,吏民規矩繩墨也。夫矩不正,不可以求方;繩不信,不可以求直?!?/span>

        2.8 韓非子的人文思想與數學

        韓非子也是法家的代表人物,他十分推崇“法術”,他也借用規矩、尺寸等數學語言來闡述“法”,他的數學思想和人文思想是交融在一起的。韓子引繩墨,切事情,明是非。------《史記·老子韓非列傳》。

        《韓非子·用人》:“釋法術而任心治,堯不能正一國;去規矩而妄意度,奚仲不能成一輪;廢尺寸而差短長,王爾不能半中。使中主守法術,拙匠守規矩尺寸,則萬不失矣?!?/span>

        《韓非子·飾邪》:“夫懸衡而知平,設規而知圓,萬全之道也?!屢幎吻?,釋法而任智,惑亂之道也?!?/span>

        2.9 法律與數學

        唐代吳兢的《貞觀政要·公平》提到:“法,國之權衡也,時之準繩也”;《淮南子·主術訓》說:“法者,天下之度量,而人主之準繩也”。目前我國的法徽、人民法院院徽含有權衡;時至今日,我們仍說“以法律為準繩”,可見古代數學的影響。度量、權衡、準繩都是數學,被用于法律。反映了中國文化對數學嚴謹、規范、精確的推崇。

        2.10 先賢們的數學觀

        先賢們為什么重視數學?先賢們顯然希望自己的學說無論在哪里用、在什么時候用、誰來用,都有一致性,不會因地、因時、因人而異,能反映客觀性、普適性。而數學的一個重要特點就是客觀性與普適性,數學命題具長期生命力,其正確性不會因時因地因人而改變。這也是為什么先賢們建立的學說直到今天仍有強大的生命力。這反映出中國文化對數學思想、方法、能力的看重。

        2.11 籌算與語言

        籌算對中國語言有很重要的影響。我認為,像運籌帷幄、技高一籌、略勝一籌、一籌莫展等成語,都源自于籌算。運字特征:運的對象從一處到了另一處,發生了位移?;I算的過程是把算籌從袋中取出,移到桌上進行運算,這正是運籌?!斑\籌帷幄”,字面意思是說在軍帳里進行籌算,進而引申為在戰斗中進行謀劃、策劃。在我看來,“技高一籌”、“高出一籌”和“略勝一籌”的本意,并不是比較兩人的籌碼多少,而是比較兩人的籌算能力,你會把籌擺弄在正確的位置上, 也就是你的籌算能力更強,你就“技高一籌”、“高出一籌”或“略勝一籌”?!罢埂弊痔卣鳎赫沟膶ο笳骨皼]看見,展后看見了。算籌本是放在袋中的,沒看見,做籌算時需把算籌取出,擺在桌上演算,就能看見了,所以做籌算就是一個展籌的過程?!耙换I莫展”是說,做籌算時連算袋里一根籌都拿不出來擺在正確的位置,說明完全不會做,比喻一點辦法都想不出,一點計策也施展不了。

        此外還有很多與算籌有關的詞語,例如統籌、籌款、籌辦、籌備、籌措、籌劃、籌集、籌建、籌借、籌碼、籌謀、籌拍、籌商、籌資、籌組等等。簡簡單單、隨隨便便的辦理不能稱為籌辦,籌辦得要是有謀劃、有思考、動了腦筋的辦理。

        數學對中國語言的影響還有很多例子。比如建筑工匠、尤其是泥木工需要使用數學工具,離開了“準繩”便無法工作, 所以“準繩”后來被引申為必須遵守的法規。

        如今的許多詞語都與數學中的準繩有關,例如:準則、準確、準時、準保、標準、水準、準點、準信、準數、對準、瞄準、保準、放之四海而皆準,繩正、繩之以法、繩墨之言、繩愆糾謬。

        再比如常規、規則、規范、規定、蕭規曹隨、循規蹈矩,上策、獻策、策劃、策反、策應、策動、束手無策、出謀劃策,權衡、權度、衡量、衡定(評定)等詞語,也都源自于數學中的規、矩、策、權、衡等。

        2.12《周易》中的數學

        《周易》記載:“上古結繩而治,后世圣人易之以書契?!睆慕Y繩計數到符號計數,《周易》可謂是二進制的濫觴,書中顯現了對稱和對偶的思想。比如陰和陽。上述提到的“探賾索隱,鉤深致遠”也是出自《周易》?!吨芤住穼χ袊軐W的發展起到了重要的作用,是一部具有科學思想的深刻巨著。

        2.13 老子的人文思想與數學

        老子的《道德經》說“負陰抱陽”,這其實蘊含了深刻的數學原理,用現代的數學語言來說就是:陰和陽兩個元素構成一個有限群,運算不必只作用于數上。另外,將“陰陽”換成“負正”,這句話即蘊含了“負負得正”的思想。所以說,中國古代文化發現了第一個有限群()。

        老子在《道德經》中說:“道生一,一生二,二生三,三生萬物?!贝送馑终f:“善數不用籌策?!鄙厦嬉烟岬轿覈没I策和十進位值制來計數。老子顯然深入思考了計數問題,不用籌策,即不用十進位值制。結合這兩句話來看,其實可以看出老子認為三進位值制也可計數,也是“善數”。所以,我認為,老子是三進位值制的創立者。事實上,三進制對中國的傳統文化有很大影響,比如祭祀時供奉三碗米飯、點三根香、灑三杯酒、還有三鞠躬?!叭币呀洿砹巳f物,代表了祭祀者的所有哀思和緬懷。此外還有軍事上的“三三制”等。目前朋友圈時興點贊,有些人點4個、5個乃至一串大拇指,我以為不如按老子的思想點三個,以此代表完全贊同。

        參考文獻

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        [10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳、淮南子、貞觀政要, 中華經典名著全本全注全譯叢書, 北京: 中華書局, 2010--2019.



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        原文載于《數學學報,中文版》2022年第四期,由編輯部授權轉載。


        來源:數學大院

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